Достижения Банаха | Великие математики

Хотя Банах был, по сути дела, самоучкой, он вписал свое имя в историю математики как основной создатель функционального анализа, называемого также теорией операции (он занимался также и другими отраслями математики). В этой математической дисциплине основным понятием является ..пространство Банаха” (это название присвоено французским математиком Фреше), а к числу фундаментальных работ в этой области относится крупное произведение Банаха „Теория операций”, изданное первоначально на польском (1931 год), потом на французском (1932 г.) под заглавием ,,Th?orie des op?rations lin?aires” и, наконец, в 1948 году на украинском языках. В мировой математической литературе книга Банаха прекрасно известна. В ней содержатся, в основном, достижения автора и его учеников.

Вот выдержка из предисловия к этой книге о роли теории операции в математике:

«Теория операций, созданная В. Вольтерра, занимается исследованием определенных функций в пространствах бесконечно большого размера. Почти нет такой отрасли математики, куда не проникала бы теория операций. Достаточно напомнить, что вариационное исчисление и теория интегральных уравнений оказались частными случа

ями общих положений теории операций. Стройность теории операций заключается, главным образом, в том, что в ней объединены в гармоническое целое методы классической математики и методы современной науки… Существуют такие отрасли математики, глубокое понимание которых возможно только при знакомстве с теорией операций. К таким отраслям принадлежат: теория функции действительного переменного, вариационное исчисление и т. п.

Если обратить внимание на стройность теории операции, то, кроме ее применения, мы можем справедливо считать ее самой красивой отраслью математики». Как была принята „Теория операций” за рубежом, прекрасно свидетельствуют слова советского математика Соболева в речи, посвященной пятнадцатилетию со дня смерти Банаха:

«Я помню, как в начале тридцатых годов в Москве и Ленинграде, когда появилась книга „Теория операций”, около книжных магазинов образовались длинные очереди людей, ожидающих первых редких экземпляров этой книги. Книгу читали с восхищением и энтузиазмом. Все мы, тогда еще молодые, начинающие советские ученые, почувствовали на себе огромное влияние львовской математической школы, самого Банаха и его ближайших друзей и учеников».

Следует добавить, что в настоящее время крупнейшие центры функционального анализа находятся в СССР (а также в США, Франции и Польше).Одной из наиболее плодотворно развивающихся в настоящее время отраслей функционального анализа является так называемая „алгебра Банаха”, так назвал М. Цорн нормированное кольцо (пространство), понятие, введеное в 1941 году советским математиком И. М. Гельфандом (под этим понятием разумеется пространство Банаха, в которое

дополнительно введено умножение элементов так, что оно становится кольцом, и норма произведения двух его элементов не превышает произведения норм этих элементов).

И, наконец, чтобы показать облик Банаха, как человека, и стиль его работы, приведем свидетельство Хуго Штейн-гауса — друга и сотрудника Банаха. «Ьанах стал ординарным профессором в 1927 году, но ни раньше, ни после он не был профессором в обыкновенном понимании этого слова. Преподавал он превосходно, никогда не терялся в подробностях и никогда не испещрял доску множеством сложных математических знаков. Он не заботился о совершенстве словесного изложения, ему была чужда всякая полировка и украшательство, и он на всю жизнь сохранил в речи и поведении некоторые черты краковского мальчишки. С трудом формулировал свои мысли на бумаге. Он писал свои манускрипты на листах бумаги, вырванных из тетради, если требовалось заменить часть текста, он вырезал ненужные места и подклеивал чистую бумагу, на которой писал новые строки. Если бы не помощь со стороны друзей и ассистентов, то первые работы Банаха никогда бы не появились на свет. Письем он почти совсем не писал и на письменные вопросы не отвечал. Не любил заниматься логическими исследованиями, хотя понимал их в совершенстве, его не увлекали также вопросы практического применения математики, хотя, конечно, он мог бы ими заниматься, если бы хотел. Ведь уже, спустя год после присвоения ему докторского звания, он преподавал механику в Политехническом институте. Банах умел работать всегда и всюду. Он не был привычен к удобствам, и в комфорте не нуждался, поэтому профессорского жалования ему должно было хватать с избытком. Но его любовь к жизни богемы и полное отсутствие мещанской

экономии и порядка в повседенвных делах вовлекли его в долги и в конце концов в тяжелое материальное положение. Желая как-то избавиться от этих трудностей, Банах решил заняться изданием учебных пособий. Он написал учебник под заглавием „Дифференциальное и интегральное исчисление” в двух томах (есть русский перевод)… Учебник, написанный сжато и понятно, пользовался и пользуется до сих пор большим успехом среди студентов высших учебных заведений на первых курсах. Больше всего времени и силы потратил Банах на составление учебников арифметики, алгебры и геометрии для средних школ. Он писал их сам, а также вместе с Серпиньским и Стожеком. Это не были копии уже существующих школьных учебников. Благодаря своему опыту репетитора, Банах превосходно отдавал себе отчет в том, что любое определение, любое доказательство и даже любая фраза становятся проблемой для автора школьного учебника, желающего, чтобы его книга обладала ценностью дидактического пособия. По моему мнению, у Банаха отсутствовал только один талант, необходимый автору школьных учебников: способность к пространственному воображению.

Плодом многолетних лекций, которые читал Банах в Политехническом институте, стал учебник „Механика в высшем учебном заведении” (Математические монографии 8,9), этот курс в двух томах, изданный в 1938 году, был повторен в 1947 году, а несколько лет тому назад вышел его английский перевод.

Чтобы подчеркнуть значение Банаха для науки вообще и для польской науки в частности, необходимо перечислить фамилии его учеников. Мазур и Орлич — это ученики Банаха. Они теперь работают в Польше над теорией операций, их статьи в журнале „Studium Mathemati-сае’ непосредственно продолжают научную программу

Банаха, что ясно видно на страницах этого журнала. Станислав Улям, который, благодаря Куратовскому, стал математиком, после получения докторской степени тоже вошел в круг последователей Банаха. Банах, Мазур и Улям были завсегдатаями Шотландского кафе во Львове. Там они устраивали свои заседания, о которых Улям писал; что ,,…// was hard to outlast or out-drink Banach during these sessions” (трудно было высидеть дольше или выпить больше, чем Банах, во время этих заседаний), а ведь было такое заседание, которое продолжалось без перерыва 17 часов. Результатом оказалось доказательство важной теоремы по пространству Банаха, но, к сожалению, никто его не записал, и теперь никто не сможет его восстановить… По-видимому, оно было написано химическим карандашом на крышке стола и, как обыкновенно, после такого заседания, было смыто уборщицой кафе.

Такова судьба многих теорем, доказанных Банахом и его учениками. Поэтому велика заслуга Луции Банах, прах которой теперь покоится на Вроцлавском кладбище, купившей толстую тетрадь в твердой обложке для кассы Шотландского кафе, чтобы записывать задачи и возможные ответы на них на свободных страницах, рядом с текстом задач. Оригинальная „шотландская книга” предоставлялась в распоряжение любого математика, потребовавшего ее у кассира кафе; некоторые проблемы вписывались туда с обещанием награды за решение, а награды эти колебались от чашки кофе до живого гуся. Кто теперь снисходительно улыбается, пусть поймет, что в соответствии с мнением Гильберта, формулировка проблемы является половиной ее решения, а перечень нерешенных и поставленных проблем требует ответа и является призывом ко всем, кто пожелает попытаться приложить свои силы. Такое состояние умственной гото

вности создает научную атмосферу… Среди тех учеников Банаха, кто погиб от руки убийц в мундирах, украшенных свастикой, самым выдающимся был, несомненно, Павел Юлиуш Шаудер…

Банах был, прежде всего, математиком. Он мало интересовался политическими вопросами, хотя прекрасно понимал положение, в котором он очутился. Красота природы не волновала его, искусство, литература, театр были для него второстепенными развлечениями, которые лишь иногда заполняли ему, и то очень редко, краткий досуг. Но он очень любил хорошо подобранное общество друзей… Тот, кто воображает себе Банаха мечтателем, чудаком, апостолом, или аскетом, тот глубоко ошибается. Это был реалист, даже чисто внешне не напоминавший кандидата в святые или хотя бы в святоши… Это был здоровый и сильный человек, реалист вплоть до цинизма, но он дал польской науке и, в частности, польской математике больше, чем кто-либо другой».