Великие математики » Античные математики


http://математики.институтроста.рф
Еще один сайт на WordPress
Wed, 11 Jan 2012 10:53:00 +0000
en
hourly
1
http://wordpress.org/?v=3.1.3

http://математики.институтроста.рф/trudy-diofanta/
http://математики.институтроста.рф/trudy-diofanta/#comments Fri, 21 Oct 2011 12:23:00 +0000 admin

http://математики.институтроста.рф/trudy-diofanta/

Труды Диофанта стали исходной точкой исследований в области теории чисел таких знаменитых ученых, как

clip_image002

П. Ферма, Л. Эйлер, К. Гаусс. Один из разделов теории так и называется „диофантовы приближения”, которые вообще говоря касаются решений линейных и нелинейных неравенств в целых числах. Много внимания в своих трудах посвятили диофантовым приближениям такие математики, как А. Гурвиц, К. Рот, Г. Минковский, А. Я. Хинчин и В. Серпиньский.

В математику также прочно вошел термин „диофантовы уравнения”; это название относится к проблеме решения уравнений с большим числом неизвестных, чем самих уравнений, при том в целых или рациональных числах. Например, уравнение:

ах+ Ьу = с;

где: а, Ъ, с — целые числа может быть решено в целых числах только лишь в случае, если „с” имеет наибольший общий делитель с числами „а” и „Ь”. Следует подчеркнуть, что при исследовании теории указанных уравнений, начатых Диофантом в Александрии, важнейшие результаты получены П. Ферма, Л. Эйлером, Ж. Лагранжем, Э. Куммером, X, Туэ, Т. Сколемом и Т. Нагеллом. Современные исследования в области теории диофантовых уравнений тесно связаны с алгебраической теорией чисел и теорией диофантовых приближений. Вплоть до VI века н. э., кроме Диофанта нет ни одного выдающегося греческого математика. Труды Диофанта принесли наибольшую пользу значительно позже, когда на небосклоне науки появились звезды первой величины: Ферма, Эйлер и Гаусс.

]]>
http://математики.институтроста.рф/trudy-diofanta/feed/
0


http://математики.институтроста.рф/diofant/
http://математики.институтроста.рф/diofant/#comments Wed, 19 Oct 2011 12:19:00 +0000 admin

http://математики.институтроста.рф/diofant/

(конец III века н. э.)

Греческие математики, столь много внесшие в современную науку, занимались, в основном, геометрическими проблемами. При этом — как известно многие греческие ученые находились под влиянием философии Платона, считавшего геометрию наукой, которой достойны заниматься только представители умственной элиты греческого общества. В этих условиях, геометрия превратилась в своеобразную гимнастику ума, в искусство, а ее практическое применение считалось унизительным, являлось профанацией этого искусства. Авторитет Платона в те времена был непререкаемым фактором общественного мнения и оценки явлений. По этой причине развитие арифметики и алгебры как дисциплин сугубо связанных с практическими нуждами, встречалось с серьезными препятствиями. Конечно, грекам приходилось

 

заниматься вопросами этих дисциплин, но проблемам алгебры и арифметики в этом случае придавались геометрические формы. В качестве реликтов такого подхода, в современном языке остались определения: „возвести в квадрат” или в „куб”. Но, одновременно, греки способствовали внедрению в расчеты буквенных обозначений, и тем самым — развитию алгебры. Древнегреческие математики обозначали точки, прямые и плоскости прописными буквами, а цифры — строчными. Коренной перелом в древнегреческой математической традиции совершил выдающийся математик из Александрии Диофант, живший в третьем веке нашего летосчисления. Это был первый ученый, который занялся преимущественно алгеброй.

Деятельность Диофанта совпала с упадком Греции завоеванной — как известно — Римом. Греческие ученые нашли себе убежище в Египте, главным образом в Александрии, которая к тому времени стала центром мировой культуры. В Александрии была создана великолепная библиотека, которая ко временам Диофанта стала центром мировой культуры и гуманитарных наук, в Александрии возник т. н. Мусейон (храм или святилище муз), где сосредоточилась деятельность самых выдающихся представителей естественно-математических наук. В числе этих ученых был и Диофант, математик, который, благодаря знакомству с сирийскими и индийскими математиками, перенес в греческую науку достижения вавилонян в области алгебры.

Существуют только отрывочные сведения о жизни Диофанта, нет даже данных о дне его рождения и смерти. Впрочем, некоторые подробности, к сожалению не весьма существенные, можна установить из „Эпитафии Диофанта”, которую греческий монах XIV века, Максуим Плануд поместил в своей антологии.

Вот содержание этой эпитафии:

В этой могиле, Диофанта покоится прах, того Диофанта, который дивным

Искусством владел, позволяющим всем из письмен на этом камне начертанным умершего жизни предел рассчитать

Шестую часть жития по милости божией отроком был Диофант неразумным

Борода у него на лице появилась когда миновала двенадцатая часть его

Жития, а когда истекла часть седьмая Младую супругу ввел бог под кров его дома, Которая на супружества пятом году, малюткой сыночком его одарила.

Однако жесток был судьбы приговор: сын молодой в мрачное царство теней отошел достигнув едва половины жизни отца.

Утоляя отцовскую боль, Диофант среди чисел искал утешенья

Четыре коротких года спустя он с жизнью навеки расстался.

Решая эту задачу, можем определить, что знаменитый Диофант, по справедливости считающийся „отцом алгебры”, жил 84 года. Детские его годы длились 14 лет, на 21 году у него „Борода на лице появилась…”, женился он в 33 года, на 38 году жизни у него родился сын, который умер 42 лет от роду, то есть на 80 году жизни Диофанта, искавшего утешения в математике еще 4 дальнейших года жизни.

Главный труд Диофанта „Арифметика” (ок. 250—275 г. г.) состоял из 13 книг, из которых, к сожалению, сохранилось только 6. Но из того, что осталось после Диофанта,

можно судить о его гениальных достижениях в алгебре. Ученый умел решать уравнения до третьей степени включительно, вводил в них больше неизвестных, чем это делали вавилоняне, и применял для неизвестных буквенные обозначения. Диофант пользовался специальным символом для вычитания и ввел в обиход сокращенные слова для отдельных определений и действий. Таким образом, Диофанта можно считать автором первого алгебраического языка. Например, уравнение:clip_image002

в котором: „аг” (сокращение от „aritmos” — число) означает неизвестное, „то” (сокращение от „monas”) единица, „is” („иол”) — равняется, соответствует уравнению в нашем начертании:clip_image004

Из этого примера видно, что Диофант, вместо полного словесного описания алгебраических выражений, (риторическая алгебра), ввел сокращенные обозначения (син-коптическая алгебра).

Из 189 уравнений, которые сохранились в „Арифметике” со всей ясностью видно, что Диофант обращал главное внимание на решение положительных, рациональных неопределенных уравнений, то есть, в основном, имеющих большое число корней. Диофант интересовался, однако, только одними решениями — „положительными” и „рациональными”, В поисках таких решений, Диофант проявил большую изобретательность в подборе коэффициентов, чтобы получить такое решение. Из других работ Диофанта, кроме „Арифметики” сохранились фрагменты трактата о многократных числах и отрывок рассуждений о египетской математике.

]]>
http://математики.институтроста.рф/diofant/feed/
0


http://математики.институтроста.рф/trudy-gerona/
http://математики.институтроста.рф/trudy-gerona/#comments Tue, 18 Oct 2011 12:17:00 +0000 admin

http://математики.институтроста.рф/trudy-gerona/

Герон вошел в историю науки не столько благодаря творческому вкладу в развитие математики, сколько потому, что осуществил в ней коренной перелом. Именно

Герон связал математику с практическими потребностями человека и свел ее с небес платоновских идей на землю.

Имя Герона навсегда связано с известной формулой нахождения площади (5) треугольника, если даны три его стороны а, Ь, с:

clip_image002

Эта формула, включая ее подробное доказательство приведена в „Метрике”, основном математическом труде Герона. „Метрика” состоит из трех книг. Первая из них посвящена способам измерения площадей и в ней приведена указанная выше формула и, кроме того даны цифровые примеры извлечения квадратного корня из рациональных чисел. Приведены также рассуждения о нахождении площадей ограниченных кривыми. Вторая книга „Метрики” посвящена определению объемов тел. Герон дает советы по нахождению объемов „неправильных” тел, путем погружения их в воду и измерения объема вытесненной ими воды. Эта часть „Метрики” заканчивается сообщением, что такой способ измерения объема тел применял Архимед. Третью часть труда Герон посвятил проблеме деления площадей фигур на плоскости и объемов на части находящиеся в определенном числовом отношении друг к другу. Хотя Герон пользуется при этом достижениями Евклида, трудами Архимеда и Аполлония Пергского, то однако, вносит в свои рассуждения множество оригинальных идей и — что особенно важно — приводит пример способа приблизительного решения задачи об извлечении кубического корня. Второй труд Герона „О диоптре” свидетельствует о том, что автор несомненно пользовался математическими достижениями египтян и вавилонян. Несмотря на то, что трактат „О диоптре” по содержанию похож на „Метри

clip_image004
ку”, то, однако, материал в нем преподан совершенно по–иному. Формулы, приведенные в этом трактате не выведены, а иллюстрированы многочисленными примерами. Как утверждают некоторые историки математики, формулировки и чертежи употребленные Героном в „Диоптрии” и вообще даже выбор задач и проблем напоминают известный папирус Ахмеса, восходящий ко второму тысячелетию до нашей эры.

Герон интересовался не только математикой. Он оставил также много трудов по механике. Эти его работы носят энциклопедический характер и содержат почти весь объем тогдашних знаний в этой области. Герон дал описание пяти простых механизмов, привел принцип действия рычага, полиспаста и привел закон параллелограмма сил. Пояснил также конструкцию ряда приборов, например, измерителя расстояний. Герон был автором выдающихся трудов по геодезии, дал описание теодолита, привел основы военного исскуства и пояснил конструкцию метательных машин.

Большой интерес представляет труд Герона „Пневматика”, в котором он дал описание разного рода автоматов и устройств, служащих часто для развлечения публики. В частности, в этой книге Герон описал устройство органа действующего силой воздуха вытесняемого водой, поступающей в резервуар, термоскопа, пожарного насоса, модели первой паровой машины и устройства для открывания двери храма, когда разжигается огонь на жертвеннике. Эти древние „чудеса”, в большинстве оставшиеся на практике не использованными, поглощали внимание многих мыслителей и практиков вплоть до эпохи Возрождения.

И все же, несмотря на эти достижения Герона, нам мало известна жизнь талантливого создателя остроумных механизмов. Даже точное время его рождения и смерти

находится под вопросом. Одни историки утверждают, что Герон жил в первом столетии нашего летосчисления, другие уверяют, что он жил и действовал в третьем веке до нашей эры. Разница очень велика, ибо составляет около 400 лет. Некоторые следуют мнению О. Нейге-бауэра, выдающегося знатока античной математики, который утверждает, что описание лунного затмения в трактате „О диоптре” относится к 62 году нашей эры и, что Герон сам наблюдал это небесное явление. На основе характера математических терминов и по комментарию к Евклиду, содержащемуся в произведениях Герона, можно предположить, что он был учителем. Но, в основном, Герон был автором, который создавал свои труды для практиков. Всю математику, которую изучил Герон, он приспособил к практическим целям.

]]>
http://математики.институтроста.рф/trudy-gerona/feed/
0


http://математики.институтроста.рф/geron-aleksandrijskij/
http://математики.институтроста.рф/geron-aleksandrijskij/#comments Mon, 17 Oct 2011 12:13:00 +0000 admin

http://математики.институтроста.рф/geron-aleksandrijskij/

В третьем, втором и первом веках до нашей эры, древний мир переживал исторические события, когда на развалинах великой империи, созданной изумительным героем древности, Александром Македонским, выросли государства, руководимые вождями его школы, государства, которые приходили в упадок, поднимались вновь, или безвозвратно погибали. Древние полисы, города–государства, Афины, Фивы, Спарта, создавшие великую культуру и гордившиеся великолепным прошлым пришли в упадок, потеряли былое значение. Весь Балканский полуостров стал театром военных действий. Великолепные храмы, памятники великой архитектуры, произведения гениальных художников превращались в груды развалин. В итоге длительных войн, внутренних раздоров, вооруженных столкновений, Эллада стала легкой добычей Рима.Риму подчинились не только славившиеся мудростью философов Афины, не только героическая Спарта. Рим подчинил себе также древние греческие колонии, острова Эгейского моря, Египет. Наряду с упадком Древней Греции снижался уровень культуры и науки этой великой страны. Пришли в упадок знаменитые греческие школы: Птолемеев в Александрии, Пергаме, Антиохии и на острове Родосе. Перестала развиваться и античная математика. Однако не следует думать, что упадок греческой математики был только следствием завоевания Эллады римскими легионами. Кризис математических наук в Древней Греции был вызван также тем, что греческая математика погрязла тогда в традиционных геометрических методах и осталась равнодушна к новым тенденциям, появившимся в алгебре и арифметике. Это сделало невозможным поворот к новым проблемам, а прежние, в рамках применявшихся тогда методов уже исчерпали себя. Должна была наступить новая эра. Надо было отказаться от комментирования старых текстов, порвать с платоновскими традициями. В поисках новых путей необходимо было учесть достижения древнего Египта и Вавилонии.

Одним из представителей новых веяний в математике, порвавшим с косностью тормозившей ее развитие был Герон Александрийский, которого, впрочем, часто называют Героном Македонским.

]]>
http://математики.институтроста.рф/geron-aleksandrijskij/feed/
0


http://математики.институтроста.рф/apollonij-pergskij/
http://математики.институтроста.рф/apollonij-pergskij/#commentsSun, 16 Oct 2011 12:08:00 +0000admin

http://математики.институтроста.рф/apollonij-pergskij/

 

Аполлоний Пергский был третьим после Евклида и Архимеда выдающимся математиком Александрийской школы. О его жизни, как и о жизни Евклида известно очень мало. Учился математике в Александрии у последователей и учеников Евклида. Период его активной научной деятельности приходится, примерно, на 210 годы до нашей эры.

Трактат Аполлония, озаглавленный „Конические сечения” (Коника), прославил его имя навсегда, и обеспечил ему в истории математики почетное звание „Великого Геометра”.

В этом трактате Аполлоний изложил науку о конических сечениях столь совершенно, что и теперь мало что можно добавить, несмотря на колоссальное раз

clip_image004
витие математики. Ученые древности занимались и до Аполлония вопросами конических сечений, но этот последний в своих рассуждениях применил более общие предпосылки, и науку об этих сечениях разработал тщательнее и подробнее. Предшественники Аполлония осуществляли сечения конуса плоскостями перпендикулярными его образующим и в результате получали параболу, эллипс и гиперболу — в зависимости от угла конусности (прямой, острый, тупой). Аполлоний доказал, что все эти конусные кривые, которым именно он придал соответствующие названия, можно получить на любом конусе с круговым основанием путем сечения различными плоскостями. Таким образом, „конические сечения” Аполлония затмили своим блеском все появившиеся ранее труды на эту тему. В частности, этим можно объяснить факт безвозвратной утери труда Евклида „О конусных сечениях”, поскольку этот труд не выдерживал сравнения с работой Аполлония.

„Коника” состоит из восьми книг, из которых четыре сохранились на греческом языке, три — в переводе на арабский, а последняя, утерянная, восстановлена Гал-леем, на основе сохранившихся комментариев. О том, сколько труда вложил Аполлоний в эти книги свидетельствует факт, что семь первых книг содержат 387 теорем, с весьма сложными, во многих случаях, доказательствами. И только лишь с использованием аналитической геометрии, появившейся спустя без малого 2000 лет — не без значительного влияния идей Аполлония — удалось упростить некоторые доказательства. Бесспорны заслуги Аполлония как создателя основ аналитической геометрии.

Аполлоний был не только математиком, но и астрономом. Он, в частности, интересовался движением Луны, и прозвище „Эпсилон”, которым окрестили Аполлония современники происходит повидимому от серповидной формы ущербной Луны, которая похожа на греческую букву ?.

Об актуальности достижений Аполлония и о влиянии его труда на развитие современной математики, красноречиво свидетельствует то, что сочинения Аполлония переводились и их изучали ученые такого масштаба, как Виет, Галлей, Ферма, Гильберт. Виет перевел труд Аполлония „О касании”, в котором рассмотрен вопрос касания трех окружностей; Галлей — „О пространственных сечениях”. Ферма -занимался изданием произведений Аполлония. По мнению знатока древней математики Гильберта, Аполлоний был одним из тех математиков древности, которые стремились освободиться от влияния платоновской философии. Об этом свидетельствует то, что в одном из своих сочинений, посвященном основам геометрии, Аполлоний пытался найти связь между математическими понятиями и окружающей действительностью. Со смертью Аполлония кончается плеяда великих математиков античного мира.

]]>
http://математики.институтроста.рф/apollonij-pergskij/feed/
0


http://математики.институтроста.рф/vydayushhiesya-trudy-arximeda/
http://математики.институтроста.рф/vydayushhiesya-trudy-arximeda/#commentsSat, 15 Oct 2011 12:05:00 +0000admin

http://математики.институтроста.рф/vydayushhiesya-trudy-arximeda/

Обсуждая работы и достижения Архимеда, до сегодняшнего дня вызывающие восторг и изумление способностям этого математического гения, нельзя умолчать о его работах, посвященных вопросам гидростатики. Кто из нас не помнит известный закон Архимеда о том, что: „всякое тело, погруженное в воду теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им вода”. Кроме этого, Архимед дал еще несколько формулировок этого закона, в которых предусмотрены все другие случаи:

 

1. Если вес тела меньше веса вытесненной им воды, тело погружается в воду только частично, вытесняя только такое количество воды, вес которой равен весу тела. В этом случае тело плавает по воде.
2. Если вес тела равен весу вытесненной им воды, то тело свободно плавает в воде.
3. И наконец, если вес тела больше вытесненной им воды, тело тонет в воде.

Существует популярный анекдот, связанный с открытием этого закона. Говорят, что сиракузский царь Гие-рон попросил, однажды, Архимеда проверить не примешал ли золотых дел мастер серебра к золотой короне, изготовленой им по заказу царя. Архимед долго думал, как выполнить желание царя, пока, однажды, сидя в ванне почувствовал, как по мере погружения в воду, его тело теряет некоторую долю веса, и внезапно открыл то, что теперь называется законом Архимеда. Ошеломленный открытием, Архимед будто бы выскочил из ванны и с криком „эврика”! (нашел), нагишом выбежал на улицу.

Конечно, на основе этого закона, Архимед мог легко определить есть ли в золоте короны примесь серебра. Ведь, закон Архимеда позволяет легко определять удельный вес тел. Таким образом, достаточно было сравнить удельный вес короны с удельным весом золота, что бы найти не только наличие примеси, но и количество серебра в короне.

Как известно, Архимеду принадлежат слова: „дайте мне точку опоры и я сдвину Землю”. Это было сказано по поводу строительства по приказу Гиерона великолепного трехмачтового корабля, которого, однако, рабочие не могли спустить на воду, так тяжел был этот корабль. Архимед легко выполнил это с помощью системы блоков, уставленных на суше в некотором отдалении от

clip_image002
корабля. Пораженный этим изобретением, Гиерон заказал у Архимеда ряд механизмов для защиты города во время осады. И действительно, эти механизмы — катапульты разного рода — были с успехом применены во время пунических войн, в частности, во время осады Сиракуз войсками Марцелло. На римские войска посыпались камни и бревна метаемые машинами Архимеда. Другие механизмы, снабженные мощными крючьями поднимали римские корабли высоко над водой и бросали их в пучину, и, наконец, с помощью своих механизмов сиракузцы разбивали римские корабли о прибрежные скалы.

Описание этих битв оставил нам Плутарх, о них же упоминает и Полибий, аПрокл, например, рассказывает, что Архимед сжигал римские корабли с помощью огромных зеркал и линз, сообиравших в один пучек солнечные лучи, что, конечно, не сответствует действительности. Хотя в преданиях древних писателей немало фантазии, следует, однако, сказать, что Архимед, бесспорно, в течение двух лет успешно руководил обороной Сиракуз, применяя против мощной армии Марцелло.свои военные машины. Как свидетельствуют труды, да и вся деятельность Архимеда, он доказал, что между теорией и практикой существует тесная связь, о чем он, в частности, писал Эратос-фену. В этом письме Архимед выразил надежду, что современные ему и будущие математики, воспользуются его методами и дадут теоремы, решения и доказательства, которые „даже не приходили нам в голову”. И правда, это были пророческие слова, ибо в XVII веке идеи Архимеда воплотились в жизнь в виде дифференциального и интегрального исчислений.

Труды Архимеда были, пожалуй, крупнейшими достижениями древнего мира. Его математические рассуждения вышли далеко за пределы элементарной геометрии, и

требуют даже известных знаний из области математического анализа. Научные взгляды Архимеда отличаются величайшей последовательностью и бескомпромиссностью. Это, в частности, доказывается его отношением к Демокриту, учение которого оспаривали современники Архимеда. Весьма положительно отзывался Архимед об астрономической системе Аристарха, величайшего астронома древности. Об этом Архимед писал в труде „О числе песчинок” (Псаммит). Как известно, Аристарх был первым ученым, осмелившимся высказать гипотезу об обращении Земли вокруг Солнца, за что был обвинен в безбожии и приговорен к изгнанию из Афин. Многие столетия спустя, правдивость этой гипотезы доказал великий Коперник, создавший новое учение о Вселенной. Несмотря на то, что от смерти Архимеда прошло уже более двух тысяч лет, мы все еще восторгаемся достижениями этого гениального математика и физика. На небосклоне науки Архимед — звезда первой величины.

]]>
http://математики.институтроста.рф/vydayushhiesya-trudy-arximeda/feed/
0


http://математики.институтроста.рф/zhizn-arximeda/
http://математики.институтроста.рф/zhizn-arximeda/#commentsFri, 14 Oct 2011 12:02:00 +0000admin

http://математики.институтроста.рф/zhizn-arximeda/

Об Архимеде, о его жизни и деятельности дали сведения многие ученые и в частности, Папп, Диодор, Гераклид, Плутарх, Полибий, Прокл и Цицерон.

Архимед родился около 287 г. до н. э. Происходил из семьи с научными традициями. Его отец был астрономом, который сострял в родстве с тираном Сиракуз Гиероном, известным покровителем наук и искусств. Некоторое время Архимед учился в знаменитой тогда Александрии. Там он познакомился с выдающимися учеными, с которыми всю жизнь поддерживал оживленные отношения. К числу таких ученых принадлежал также руководитель Александрийской библиотеки Эратосфен.

Существует мнение — по крайней мере так считают некоторые историки науки, — что Архимед помогал Эратосфену при расчетах длины меридиана земного шара и с этой целью ездил в Сиену (нынешний Ассуан).

Остальную жизнь Архимед провел в Сиракузах, где пользовался необыкновенной любовью и уважением сограждан. Погиб от руки римского солдата, после того, как в город ворвались легионы Марцелло. Плутарх так описывает смерть Архимеда.

Ученый сосредоточенно работал над некой геометрической проблемой и так был погружен в нее, что не заметил как римляне захватили город. Вдруг, перед ним очутился римский солдат и приказал идти с ним к Марцелло. Архимед согласился, но с условием, что ему дадут возможность перед уходом закончить начатую работу. Этот ответ так возмутил римлянина, что он ударил ученого мечом и убил его на месте. Существует еще ряд других рассказов о смерти Архимеда. В некоторых из них упоминаются знаменитые слова Архимеда к пришедшему за ним солдату: „Не тронь моих чертежей”. По Плутарху: „Noli turbare cirkulos meos”

Творческий труд Архимеда совпал с периодом, когда развитие техники поставило перед математикой множество новых задач. Гидротехника, военная техника, морской транспорт, астрономия, геодезия, картография и физика, в особенности два ее раздела: механика и оптика из-за весьма тесной связи с геометрией потребовали от ученых решения различных вопросов и осуществления точных измерений. Поэтому нет ничего удивительного в том, что научные достижения Архимеда не могли ограничиваться теоретическими рассуждениями, но должны были отвечать потребностям жизни и техники. Труды Архимеда не получили столь широкого распространения как „Начала” Евклида в основном, потому.

что были написаны трудным, малодоступным языком (Архимед писал весьма кратко, пропускал легкие, по его мнению, звенья, свои труды адресовал читателям опытным и зрелым в науках). Все издания трудов Архимеда основаны на манускрипте XV века. Первое печатное издание греческого текста с переводом на латинский язык вышло в свет в 1544 году в Базеле, следующее, парижское, — в 1615 году, потом вышло нюрнбергское издание 1670 года и оксфордское— 1792. Произведения Архимеда издал также известный датский математик и филолог И. Л. Хейльберг.

В перечисленных изданиях помещены семь следующих трудов Архимеда:

1. О шаре и цилиндре
2. Об измерении круга
3. О коноидах и сфероидах
4. О спиралях (коноида — параболоид вращения, сфероида — элипсоид вращения)
5. О равновесии плоскостей
6. О числе песчинок
7. О квадратуре параболы

В 1906 году упомянутый выше И. Л. Хейльберг обнаружил еще один труд Архимеда: „О методе механического решения геометрических задач”. Вообще говоря, указанные труды Архимеда касаются расчета фигур ограниченных кривыми и объемов тел ограниченных любыми плоскостями, что прославило Архимеда как предшедствен-ника дифференциально-интегрального исчисления, вше-дшего в обиход математики 2000 лет позже, благодаря таким гениям, как Лейбниц и Ньютон. Сам Архимед крупнейшим достижением будто бы считал разработанное им доказательство теоремы, касающейся соотношения объема шара к объему описанного на нем цилиндра, как 2:3. Поэтому он якобы просил своих друзей поме

слить на его гробнице шар вписанный в цилиндр. Кроме того, Архимед получил блестящие результаты в решении традиционной проблемы квадратуры круга. Он установил, что:

1. Площадь круга равна площади прямоугольного треугольника с катетами равными длине окружности и радиусу круга.
2. Площадь круга так относится к площади описанного на нем квадрата, как 11 : 14
3. Отношение длины окружности к ее диаметру меньше

clip_image002

Перечисленные проблемы не исчерпывают творчества Архимеда, а представлают собой только небольшую часть его трудов. Следует упомянуть, к примеру, о работе Архимеда „Начала”, посвященной изложению основ арифметики, или о его труде о многогранниках, упоминаемом Паппом Александрийским, где Архимед рассматривает многогранники ограниченные многоугольниками (например, равнобедренными треугольниками и пятиугольниками). Необходимо, пожалуй, вспомнить еще и такие труды Архимеда, как „Книга опор” и „О рычагах”, свидетельствующие о заинтересованности Архимеда вопросами механики. В этих книгах разработана теория центров тяжести тел.

]]>
http://математики.институтроста.рф/zhizn-arximeda/feed/
0


http://математики.институтроста.рф/arximed/
http://математики.институтроста.рф/arximed/#commentsThu, 13 Oct 2011 11:58:00 +0000admin

http://математики.институтроста.рф/arximed/

В третьем веке до нашего летосчисления (264 г.) начался период ожесточенной, кровавой войны между двумя мощными державами античного мира Карфагеном и Римом, которые стремились к овладению берегами Средиземного моря и тем самым к владычеству над Европой, Африкой и Малой Азией. Сицилия, бывшая в те времен средиземноморским центром земледелия, стала объектом борьбы этих держав во второй Пунической войне (218—201 г. до н. э.) Сицилия делилась тогда на ряд небольших государств, из которых важное значение имели союзные Карфагену Сиракузы. Нет ничего удивительного в том, что римляне направили свои удары прежде всего против Сиракуз,

высылая туда сильные отряды войск, мощный флот, поручая командование этими силами наиболее способным полководцам. К числу особо талантливых из них принадлежал Марцелло, которому после осады длившейся два года (213—211 г. до н. э.) удалось захватить Сиракузы.

Столь длительное сопротивление города превосходящим силам противника было возможно благодаря тому, что обороной города руководил Архимед, крупнейший математик и физик древности. Имя этого ученого навечно вошло в историю математики и физики, стало объектом многочисленных легенд и до сегодняшнего дня не сходит со страниц учебных пособий, ученых трудов и художественных произведений. Архимед не только автор трудов по математике и физике, но зачастую и герой повестей и романов.

Этот гениальный ученый, удивительно талантливый изобретатель на тысячелетия опередил эпоху, в которой ему суждено было жить и работать. Дело в том, что Архимед достиг столь поразительных результатов, что только 19 столетий спустя, его рассуждения смогли воспринять такие ученые, как Ньютон и Лейбниц. Идея Архимеда практического применения теоретических научных исследований до сих пор лежит в основе творчества наиболее выдающихся ученых современности.

]]>
http://математики.институтроста.рф/arximed/feed/
0


http://математики.институтроста.рф/trudy-evklida/
http://математики.институтроста.рф/trudy-evklida/#commentsWed, 12 Oct 2011 11:49:00 +0000admin

http://математики.институтроста.рф/trudy-evklida/

Некоторый свет на Евклида как человека, математика и философа, проливают два анекдота, правдивость которых, впрочем, как и правдивость вообще всех анекдотов, может быть взята под сомнение.

Рассказывают, например, что однажды царь Птолемей 1, листая книгу „Начал” обратился к автору с вопросом нет ли более простых путей к овладению наукой геометрии, на что Евклид ответил:

В геометрии нет особых дорог даже для царей”. В другом анекдоте говорится, чтр один из учеников Евклида, изучая геометрию и ознакомившись с первой аксиомой спросил что ему даст изучение геометрии? Вместо ответа Евклид подозвал невольника и распорядился; „Дай ему обола, ибо этот человек ожидает прибыли от науки”. Математик Папп (320 г. н. э.) восторгается необыкновенной честностью, скромностью, кротостью и одновременно независимостью, какими чертами характера отличался Евклид. Евклид был весьма плодовитым автором различных трудов. Известно, что его перу принадлежит не менее 10 трактатов, из которых „Начала”, состоящие из 13 книг считаются крупнейшим произведением в истории математики. Это первый, сохранившийся математический трактат, в котором со всей полнотой отразился дедуктивный метод. „Начала” носят характер учебника, в котором Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников. Таким образом, Евклида трудно считать самостоятельным автором содержания „Начал”, за небольшими исключениями, касающимися конусных сечений и сферической геометрии. Но в „Началах” Евклид проявил себя великолепным систематиком и выдающимся педагогом из всех существовавших за всю историю математики. „Начала” были написаны около 300 года до н. э., но древнейшие, сохранившиеся рукописи на греческом языке восходят всего лишь к X веку нашего летосчисления. Со времен 1 века нашей эры сохранилось только несколько отрывков папируса с греческим текстом. Несмотря на отсутствие оригинала, благо даря кропотливому труду ученых, сравнивавших древнейшие, сохранившиеся рукописи, удалось с полной достоверностью восстановить первоначальный текст замечательного труда Евклида.

clip_image002

Из тринадцати книг „Начал” первая, вторая, третья и четвертая а также шестая, посвящены геометрии на плоскости, в одинадцатой, двенадцатой и тринадцатой приведены основы стереометрии, остальные книги „Начал” посвящены теории пропорций и арифметике. В начале труда Евклид приводит десять первичных теорем — без доказательств, из которых пять первых назвал аксиомами, а остальные — постулатами и ввел необходимое число определений. Опираясь на этой системе аксиом и постулатов, Евклид дает доказательства 465 теорем распределенных в цепочку, очередные звенья которой логически вытекают из предыдущих звеньев или из аксиом. Пятая, так называемая „Аксиома параллельности” на целые века заняла умы многих математиков. Сначала, как например, Птолемей в древности и потом, уже в XVIII веке ученые пытались дать доказательство этой аксиомы и после многих неудачных попыток приняли четыре первые аксиомы без доказательств; в конце концов, отказ от пятой аксиомы привел к возникновению новой теории, получившей название неевклидовой геометрии.

Одна из теорем, приведенная в „Началах”, авторство которой приписывается Евклиду, известна из школьного курса и гласит: „Площадь квадрата построенного на высоте прямоугольного треугольника опущенной из прямого угла на гипотенузу, равновелика площади прямоугольника со сторонами равными отрезкам гипотенузы, полученными от пересечения ее высотой” Другие произведения Евклида не сохранились. О том, что они существовали свидетельствуют упоминания в трудах других математиков.

Историю древнегреческой математики можно подразделить на три периода: первый — необыкновенно буйное, почти стихийное развитие, второй — период сомнений, критического отношения к новым трудам и, наконец, третий — период упорядочения результатов полученных великими учеными прошлого.

Труд Евклида относится именно к этому последнему периоду.

Велики заслуги Евклида. О том, как высоко оценены его труды, свидетельствует факт, что „Начала” оставались фундаментальным математическим трудом на протяжении свыше 2000 лет.

]]>
http://математики.институтроста.рф/trudy-evklida/feed/
0


http://математики.институтроста.рф/evklid/
http://математики.институтроста.рф/evklid/#commentsTue, 11 Oct 2011 11:48:00 +0000admin

http://математики.институтроста.рф/evklid/

Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвлений математики, получившим название „евклидова геометрия”. Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его труду „Начала”. В школах всего мира, долгие столетия геометрия преподавалась по „Началам” Евклида. В английских школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей форме напоминают этот ученый трактат.

В мировой литературе „Начала” принадлежат к числу самых популярных и распространенных математических трудов. Несмотря на столь огромную популярность Евклида как автора „Начал”, сам он, его облик и жизненный путь известны очень мало. Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты его рождения и смерти. По сведениям оставленным потомству Проклом (410—485), автором комментариев к „Началам”, деятельность Евклида проходила во время правления Птолемея Сотера I (305—282 гг до н.э.). При этом царе, столица Египта Александрия стала центром научной и культурной жизни тогдашнего мира, и привлекала к себе многих выдающихся ученых со всех сторон, в частности, из Греции. В знаменитой в те времена Александрийской школе работали тогда многие светила математики и среди них Евклид, который был одним из первых ее преподавателей. Дошедшие до нас произведения Евклида, свидетельствуют о том, что это был весьма способный и даже талантливый преподаватель. Существует мнение, что Евклид был воспитанником Платоновской академии, где, имея доступ к лучшим трудам греческих математиков и философов, достиг высот тогдашних научных знаний. Действительно, произведения Евклида носят на себе признаки увлечения платоновской философией: Евклид, например, в своих трактатах весьма тщательно избегает проблем практического порядка.

]]>
http://математики.институтроста.рф/evklid/feed/
0



clip_image002
clip_image002[1]

clip_image002

clip_image002[4]